Ya estamos de regreso para continuar conversando sobre axiomas y conjuntos:

–Los tres axiomas del día de hoy nos ayudarán a “fabricar” conjs usando a otros conjs. Comencemos.-

3) Ax. de “Esquema de Comprensión”

Sea P(x) una propiedad del elemento x. Para cualquier conj A hay un conj B tal que (x ∈ B sii x ∈ A y P(x)).

-Esta es una forma rebuscada para decir lo siguiente:-

Para todo conj A, existe un conj B en donde los elementos de B son los elementos x ∈ A que cumplen la propiedad P(x).

En notación formal se escribe: B = {x ∈ A ∧ P(x)}. 

Al final, el Ax. nos da una forma para construir más “axiomas”, uno por cada propiedad P y a su vez nos permite crear nuevos conjs. usando a otros conjs más sencillos como piezas de LEGO®.

Por ejemplo:

si A = ℕ y P(x) = 2x (multiplicar cualquier elemento por 2).

B = {x ∈ ℕ : 2x}. B es el conjunto de los números naturales pares.

En dibujo quedaría de la siguiente manera:

4) Ax.(simple) del Par

Para cualesquiera a y b conjs, existe un conj C tal que: (a ∈ C) y (b ∈ C).

-En otras palabras, este Ax. nos dice que dos conjuntos pueden ser elementos de otro conjunto.-

De manera particular; si tenemos dos conjs A, B tales (de forma) que esos dos son los únicos elementos de un tercer conj C.

Para dar un ejemplo (recuerda que al conj vacío lo denotamos con ∅):

Si A = ∅ y B = {∅}. Entonces podemos decir que C = {∅,{∅}} donde ∅ ∈ {∅,{∅}} y {∅} ∈ {∅,{∅}}; además, ∅ y {∅} son los únicos elementos de C. 

Una versión con menos notación para verlo es: 

A es el vacío, y B en una bolsa con el vacío (una bolsa vacía).

El conjunto C es una caja que tiene al vacío y a la bolsa que tiene al vacío.

-¿Podemos usar más de una analogía para imaginar a los conjuntos al mismo tiempo?-

-Sí, se pueden usar varias formas de imaginarse a los conjuntos a la vez, siempre que la idea es clara y es una manera para no confundirnos.-

Una forma de dibujar la idea puede ser:

Otra imagen que ejemplifica la misma idea:

Hay que remarcar que  ∅ ≠ {∅,{∅}} y {∅} ≠ {∅,{∅}}, piénsalo con gatitos.

5) Ax. (débil) de la Unión

Para cualquier conjunto S, existe un conj U tal que si x ∈ A y A ∈ S entonces x ∈ U.

Sean A, B conjs. x ∈ ⋃ {A, B} sii (x ∈ A o x ∈ B). El conj ⋃ {A, B} es llamado la unión de A y B, el cual también es denotado por A ∪ B.

Como nota importante: El Ax. del Par y el Ax. de la Unión son necesarios para poder definir  (como operación) la unión de dos conjuntos, y el Ax. de extensión es necesario para garantizar que el conjunto es único.

U = ⋃ S. Decimos que S es un “sistema” o “familia” de conjs cuando queremos hacer énfasis en que los elementos de S son conjs. La unión de una familia de conjs S es precisamente todos los elementos x que pertenecen a alguno de los conjs que forman parte de la familia S.

Por ejemplo:

si A = {0, 1, 3, 5, 7, 9, …} y B = {0, 2, 4, 6, 8, 10, …}. 

S =A ∪ B.

S = {0, 1, 3, 5, 7, 9, …} ∪ {0, 2, 4, 6, 8,10, …} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …} = ℕ. 

-¿Cómo quedaría en un dibujo?-

– Ese se los dejo de tarea.-

-Oh, mira la hora. El tiempo vuela cuando trabajamos duro. Por hoy es suficiente salgamos a caminar y tomar un poco de aire o a almorzar.-

Esta historia continuará…

¿Quieres saber más?

Hernández, F. (2019), “Teoría de conjuntos Una introducción”, Instituto de Matemáticas, 2ª ed., pp. 5–21.

UNAM. Lipschutz, S. (1970), “Teoría de conjuntos y temas afines”, McGRAW-HILL, 1ª ed., pp. 1–17).