En el estudio de la mecánica clásica, el problema de mayor atención es encontrar la ecuación de movimiento de un objeto. Al lanzar una piedra, no solo por experiencia sabemos cómo será su movimiento al caer, sino que las matemáticas del movimiento en el universo lo dejan claro. A los físicos, nos gusta llamarle a la teoría que explica cómo se mueven las cosas como “Mecánica de Newton”. Con esta herramienta podemos construir la famosa ecuación de movimiento, la cual comúnmente se denota con la letra equis mayúscula (X). Hay muchas cosas que podemos saber conociendo con exactitud la ecuación de movimiento.
Hablemos un poco de esta ecuación X. Es una ecuación increíblemente poderosa con la cual, teniendo los datos necesarios, puedes saber dónde y cuándo sucede cada evento en el Universo. Pero, algo tan poderoso no es fácil de obtener. Las ecuaciones de movimiento se suelen encontrar resolviendo una ecuación diferencial, las cuales pueden ser difíciles, muy difíciles o de plano imposibles.
Otra área que también busca encontrar la ecuación de movimiento es la mecánica de fluidos. Esta tiene como propósito exactamente el mismo que el de la mecánica clásica: encontrar la ecuación de movimiento X de un objeto que se mueva en un fluido. Podría sonar bastante simple, pero es donde se pone interesante este problema, y es que para encontrar esta ecuación hay que resolver las ecuaciones de Navier-Stokes. Antes de profundizar en estas ecuaciones quiero platicar las maravillas de conocer esta ecuación de movimiento X.
Supón que estás en la playa y tomas un pequeño grano de arena, estás rodeado de fuertes olas turbulentas y violentas; entonces lanzas ese grano de arena al mar, justo en el momento que entra al agua hay una máquina detectora que sabe exactamente dónde y cuándo está ese pequeño grano de arena. Si realmente puedes imaginar este caso hipotético puedes darte cuenta de lo fantástico que sería poder hacer esto. Cuando el medio es el aire, es totalmente despreciable todo tipo de efecto debido a la forma del objeto, aunque en el mundo real se sabe que el aire es un fluido, uno con turbulencia y corrientes, pero fácil de simplificar en los cálculos debido a su baja viscosidad, en el caso de un fluido con viscosidad considerable, con torbellinos, con turbulencia, con corrientes, entre otras variables, ya no es tan fácil saber cómo se mueve.
El ejemplo del que hablamos es una simplificación de la pregunta que se hacen los físicos especializados en la mecánica de fluidos, y no solo ellos sino también algunos matemáticos expertos. Pero este ejemplo ¿para qué nos sirvió? ¿Qué tiene que ver con la pregunta que leímos al inicio del artículo? Justamente respondiendo a la pregunta del título vamos a ver las ecuaciones de Navier-Stokes (Figura 1).
Figura 1. En esta imagen puede ver todas las ecuaciones que componen el sistema de ecuaciones de Navier-Stokes en términos de densidad, presión y estrés, y como breve comentario si estas ecuaciones se ven monstruosas son la mejor forma para descomponerlas e intentar resolverlas.
Estas ecuaciones diferenciales que ya conocemos como las ecuaciones de Navier-Stokes serán la clave para ayudarnos a describir el movimiento de un objeto en un fluido. Sin embargo, es aquí donde nace un pequeño detalle: ¡Nadie en el mundo ha sido capaz de resolverlas de forma exacta sin cálculos numéricos! Incluso es un problema tan complejo de resolver que es parte de este grupo de problemas casi imposibles llamados “Problemas del Milenio”. Estos problemas son tan complicados que su mera solución conlleva ganarse un millón de dólares.
Mediante el análisis se puede demostrar que estas ecuaciones tienen una solución analítica, pero nadie ha podido encontrarla, por lo que esto responde a nuestra pregunta inicial: Por el momento no sabemos cómo se mueve un grano de arena en un fluido.
Igual me gustaría invitarlos a ver la descripción de este problema en las referencias de este artículo, para que comparen esta pequeña ilustración con la monstruosidad del problema y si es de su gusto intentar resolverlo.
Agradecimientos
Agradezco a La Roñosa y Roble Cuántico por sus comentarios para mejorar el borrador de esta entrada.
¿Quieres saber más?
Landau & Lifshitz (1994), “Física Teórica – Mecánica“, pp. 29-31.
Hauser, W. (1969), “Introducción a los principios de la mecánica“, pp. 65-70.
Ramos-Sanchez, S. (2018), “Relatividad para futuros físicos“, pp. 4-5.
Zill, D. G. (1998), “Ecuaciones diferenciales con aplicaciones“, pp. 16-24.
Landau & Lifshitz (2001), “Física Teórica – Mecánica de fluidos“, pp. 495-496.
Descripción del problema: Existence and smoothness of the Navier–Stokes Equation
