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– Las matemáticas… ¿Se inventan o se descubren?

Los miré extrañada. ¿Por qué harían esa pregunta? Sin embargo, en sus rostros veía ojos expectantes. Realmente querían mi respuesta.

Mi primera reacción (bueno, en realidad la segunda) fue pensar que se descubren.

– Creo que se descubren. ¿No son las matemáticas una forma de describir nuestro entorno?

Esta conversación ocurrió hace muchísimo tiempo pero todavía no la olvido. He ido cambiando de opinión varias veces (dicen que es de sabios, ¿no?), cada vez menos segura que antes. Con el paso de los años he entendido por qué es uno de los debates más comunes entre matemáticos.

Encontrando patrones en nuestro entorno

Como buena matemática, casi siempre me gusta empezar por el significado de las palabras para ponernos en contexto. “Matemáticas” tiene su raíz en la palabra griega manthánō que significa “yo aprendo”. Es una palabra que hace mucha alusión a conocer y entender. Y la verdad es que tiene mucho sentido: en matemáticas nos esforzamos más en entender por qué 2+2=4 que en el mismísimo resultado.

Los primeros registros del uso de matemáticas fueron de las civilizaciones de Babilonia y Egipto y datan de alrededor del año 3000 a.C. Inicialmente se limitaban sólo a cálculos aritméticos básicos. Nada de teoremas, demostraciones, postulados ni otras cosas de esas que, aunque hermosas, en un principio pudieran parecer complicadas. Sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. ¡Ah! Y representaciones de números, porque antes no existían. Aunque para nosotros pueda parecer obvio, en aquella época esto era un gran avance porque antes sólo existía el 1, el 2 y el “muchos”. Ahora teníamos el 4, el 10, ¡incluso más allá del 9000!

El comercio se volvió mucho más sencillo gracias al surgimiento de la aritmética y de los números. Y, con el tiempo, empezaron a preocuparse por el cálculo de áreas. ¡Esto era vital para la agricultura! ¿Te imaginas lo complicado que era medir áreas a mano o lo tedioso que era dividir un terreno? Las matemáticas permitieron transportar un problema real (de nuestro mundo) a un problema abstracto (al “mundo de las ideas”, como diría Platón). Lo mejor de ésto es que era mucho más sencillo resolver un problema una vez lo pasamos al lenguaje matemático.

Diagrama, Carta, EsquemáticoDescripción generada automáticamente
Área del triángulo.

Explorando mundos inventados

Se dice que en algún punto de la historia Euclides, un matemático griego de hace muchos años, decidió recopilar toda la información respecto a lo trabajado en Geometría (y de otras cosas más) y formalizarlo. ¿Te imaginas tener diferentes definiciones de una misma cosa? En matemáticas éso es poco práctico. Euclides lo sabía y por éso decidió axiomatizar las matemáticas, es decir, definir una serie de conceptos que se dan por hecho que son verdad y, a partir de ahí, deducir el resto. Los axiomas son como los átomos de las matemáticas.

Menciono este ejemplo porque la verdad es que me gusta mucho para explicar por qué hay personas que piensan que las matemáticas se inventan. ¿Recuerdas la definición de rectas paralelas? Euclides las describió en su libro “Los Elementos” de esta forma:

V postulado de Euclides (tomado textualmente de Wikipedia)

Postúlese… Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos ángulos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

O, en pocas palabras, “las rectas paralelas no se tocan NUNCA”. Bueno, no dice éso tal cual. Pero ambas afirmaciones son equivalentes (matemáticamente hablando). ¿Pero de verdad jamás se tocan? Esto no parecía muy evidente y estuvieron intentando demostrar matemáticamente este postulado muchos siglos después. A principios del siglo XIX no lograron demostrarlo, pero encontraron que si las rectas paralelas se tocaban la Geometría sí tenía sentido.

Si nunca habías escuchado esto antes, seguro piensas ahora: “¿Pero cómo es que se tocan las rectas paralelas? ¡Me acabas de decir que no se tocan!” Y la verdad, con justa razón. Se nos enseña que las matemáticas no cambian. Que 2+2=4 siempre y que las rectas paralelas JAMÁS de los jamases se tocan. Aquí es donde entra el “lado inventado” de las matemáticas.

Si las matemáticas fueran un juego (bueno, es que lo son un poco) los axiomas serían las reglas que le dan sentido a este juego. ¡Pero nosotros podemos definir los axiomas como nos dé en gana!

Negando el quinto postulado se inventa descubre construye la Geometría Hiperbólica. Y con un pensamiento similar se construyó la Geometría Elíptica. Me muero por platicarte un poco más sobre estas dos geometrías pero sería desviarnos un poco de la discusión de esta entrada. Y es que, aunque pudiéramos decir que nos acabamos de inventar estas matemáticas, ¡resulta que siempre estuvieron cerca de nosotros!

Cuando la realidad supera la ficción

Estos mundos “imaginarios” donde viven las Geometrías Elíptica e Hiperbólica en un principio parecen cosas impensables y lejanas, pero te aseguro que estás más cerquita de lo que te imaginas. Basta por ejemplo con mirar la hoja de una lechuga o la cáscara de una mandarina:

  • Si intentaras extender la superficie de algunas variedades de lechuga, esta formaría “ondulaciones” que no tocan la superficie por más que nos esmeremos en extenderla. Esto ocurre en geometrías hiperbólicas.
  • Si intentaras extender la superficie de la cáscara de una mandarina o de una naranja, no podrías a menos que la rompas por más que te esfuerces en no romperla. Esto ocurre en geometrías elípticas.

Una hoja de papel obedece las reglas de la geometría euclidiana. Pero como normalmente no dibujamos triángulos en lechugas o en naranjas (bueno, esto último igual y sí) quizá era más difícil pensar en que estas geometrías existieran.

Planta de brócoliDescripción generada automáticamente
Hoja de lechuga.
Naranjas y manzanas en una mesa de maderaDescripción generada automáticamente
Cáscara de una mandarina.

Y esta historia no es la única. Lo mismo ha ocurrido al momento de pensar en los números imaginarios, que resultaron bastante útiles en la electrónica (en específico la corriente alterna), o en los fractales, cuyo estudio nos ayuda a detectar cáncer antes de que aparezca, por citar algunas historias.

Mi opinión

Si me preguntaras nuevamente si las matemáticas se descubren o se inventan le pensaría muchísimo (te digo que cada vez estoy menos segura de mi respuesta), pero es muy probable que te diga que se descubren. De lo que sí estoy segura es que ahora agregaría que son dos caras de la misma moneda. Dos formas de explorar “el matemundo” que se retroalimentan e inspiran una a la otra y que harán que las matemáticas no paren de crecer.

¿Tú descubres las matemáticas o las inventas?

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La Matemaga Contributor
Colaboradora en La BioZona

¡Hola! Estudié Matemáticas y actualmente me dedico a la Ciencia de Datos. Me interesan muchísimo la Bioinformática, la programación y la divulgación de las matemáticas. En mis tiempos libres me encanta jugar videojuegos, cocinar y tomar té mientras platico.

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1 comentario en “Matemáticas: Creación o Conquista”

  1. Hola, yo también lo pensaría un buen de tiempo. en cierto sentido he creído que la mayor parte del humano ha tenido una actitud en la cual imita los comportamientos de la naturaleza, tal vez para mimetizarse y agruparse tanto entre si como con animales que tenían estrategias de supervivencia, me refiero a los humanos más primitivos. pero además pienso que el humano tiene la capacidad de abstraer y de ese proceso mental surgen lenguajes que intentan conglomerar la estructura y con ello transmitirla a otras nuevas generaciones. Entonces bajo estos dos procesos: imitación y abstracción, el lenguaje matemático se desarrolla. El lenguaje es la invención y con ello se sigue descubriendo las estructuras sobre las que versan las matemáticas. por eso pienso que están (y seguirán) en desarrollo (o en desenvolvimiento). Esta pregunta es muy rechida. Gracias.

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